Open In Colab

Предположения SR

Начнем с введения Эйнштейна в его специальную теорию относительности (СТО):

Вряд ли в физике найдется более простой закон, чем тот, согласно которому свет распространяется в пустом пространстве. Каждый ребенок в школе знает или думает, что знает, что это распространение происходит по прямым линиям со скоростью $c = 300 000 км/ч. сек. Кто бы мог подумать, что этот простой закон повергает добросовестно мыслящего физика в величайшие интеллектуальные затруднения?»

Разработка этих интеллектуальных трудностей, вытекающих из этого, казалось бы, «простого закона», является предметом нашего сегодняшнего обсуждения.

Что это за трудности? А именно согласовать следующие аксиоматические предположения СТО:

  • (A1) что законы физики одинаковы во всех неускоренных системах отсчета, т.е. если $K'$ — система координат, движущаяся равномерно (и лишенная вращения) относительно системы координат $K$, то явления природы протекают их течение по отношению к $K'$ происходит по точно таким же законам, как и по отношению к $K$.

  • (A2) что свет в вакууме распространяется прямолинейно с постоянной скоростью $c \approx 300 000 ~км/сек$.

Очевидные трудности в (A12)

Трудности возникают из-за соединения (A1) и (A2), которое мы обозначим через (A12). $$(A12):=(A1) \wedge (A2).$$

Если предположение (А2) действительно является законом природы, то согласно (А1) этот закон распространения должен быть инвариантным в любой инерциальной системе отсчета. Но (A12) кажется противоречащим принципам классической механики, т.е. Закон Физо сложения скоростей.

Эйнштейн утверждает, что эти трудности являются лишь кажущимися несовместимостями, и все они уравновешиваются постулированием формул Лоренца-Фицджеральда для сокращения длины и замедления времени.

Утверждение, что формулы Лоренца разрешают эти трудности, содержит два утверждения:

  • (i) что инерциальные системы отсчета $K, K'$ связаны преобразованиями Лоренца.

  • (ii) что закон распространения света (А2) является Лоренц-инвариантным. Т.е. если $(A2)$ выполняется в $K$, то $(A2)$ выполняется в каждом сдвиге Лоренца $K'=\lambda.K$.

Ниже мы критически рассмотрим эти утверждения. В дальнейшем мы будем обращаться как к волновой, так и к частичной модели света. В конечном итоге мы утверждаем, что (A12) несовместимо с обеими моделями, то есть несовместимо с принципом дополнительности Бора.

Преобразования Лоренца

Линейная алгебра пространства Минковского и преобразования Лоренца играют решающую роль в СТО.

Преобразования Лоренца в условиях СР можно определить как группу линейных преобразований $\lambda: {\bf{R}}^{4} \to {\bf{R}}^4$, удовлетворяющих $\lambda^* (h)=h$, где $h=ds^2$ — квадратичная форма Минковского-Лоренца $$h:=ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2.$$ Здесь $c$ — постоянная скорость света в вакууме, определяемая (A2).

Лоренц-инвариантность $h$ говорит, что $$\xi^2+\eta^2+\zeta^2-c^2 \tau^2$$ численно равно $$x^2+y^2+z^ 2-c^2 t^2$$ для каждого преобразования Лоренца $\lambda$, удовлетворяющего $$(\xi, \eta, \zeta, \tau)=\lambda.(x,y,z,t).$$ Таким образом, предполагается, что $h$ является скалярным инвариантом для всех инерциальных наблюдателей.

Группа преобразований Лоренца была выдвинута как попытка объяснить наблюдаемый нулевой результат эксперимента Майкельсона-Морли с интерферометром. Эксперимент был предназначен для измерения изменений скорости света относительно эфира. Таких вариаций обнаружено не было, и было постулировано, что обычные пространственно-временные координаты $(x,y,z,t)$ и $(\xi, \eta, \zeta, \tau)$ двух инерциальных наблюдателей $K $ и $K'$ соответственно не связаны преобразованиями Галилея, а связаны формулами Лоренца-Фицджеральда. Невероятно и вопреки всем ожиданиям материальное плечо интерферометра сжалось в направлении движения и одновременно параметр времени сжался на ту же пропорцию, а именно на так называемый бета-фактор $\beta = 1/\sqrt{1-v ^2/с^2}$.

Единственность лоренц-инвариантных квадратичных форм

Интересный результат Элтона и Арминджона [вставить ссылку] состоит в том, что форма Минковского $h$ является только лоренц-инвариантной квадратичной формой на ${\bf{R}}^4$ по модулю гомотетии. Это имеет полезное следствие для однородного волнового уравнения, как мы обсудим ниже.

Пространство Минковского и нулевой конус

Теперь мы скажем что-то о фотонной модели света, рассматриваемой в книге Леви-Чивиты [III.XI.6, pp.301]. If light satisfies (A2), тогда в системе отсчета $K$ свет представляет собой что-то $$\gamma(t)=(x(t),y(t), z(t))$$, который движется в пространстве со временем, и скорость которого $\gamma'$ если бы ее можно было материально измерить как функцию $t$, удовлетворяла бы

  • [Eq1] $$||\gamma'||^2=(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2=c^2.$$

Таким образом, утверждается, что траектории света ограничены нулевым конусом $$N:=\{h=0\} \subset {\bf{R}}^4$$ метрики Минковского $h$. Очевидно, что нулевой конус $N$ является лоренц-инвариантным подпространством и определяется уравнением $$x^2+y^2+z^2=c^2 t^2$$ в любой системе отсчета $K$ с координатами $( х,у,г,т)$.

Что [Eq1] говорит о распространении света?_

Опять же, если свет — это нечто $\gamma$, которое движется, то [уравнение 1] подразумевает, что скорость $\gamma$ тождественно равна $c$, измеренной в $K$.

Но скорость $\gamma$ не зависит от направления движения $\gamma$, ограниченного $N$.

Предположение Эйнштейна (A2) пытается предписать скорость, предполагая, что распространение происходит по прямым линиям с постоянной скоростью. Но снова скорость все еще недоопределена, так как направление частицы не определяется ее принадлежностью к прямой линии.

Мы предполагаем, что направление и величина не определяются однозначно с помощью (A2). Более того, преобразования Лоренца не удовлетворяют Утверждению (ii), т. е. (A2) не Лоренц инвариант.

Проблема в том, что представление школьника о распространении света в вакууме является римановой перспективой. Но эта риманова перспектива не является лоренц-инвариантной. Действительно, в римановой геометрии, если частица движется прямолинейно и с постоянной скоростью, то распространение частицы, а именно ее положение как функция времени, определяется однозначно. Однако в лоренцевской геометрии частица, движущаяся по прямой вдоль нулевого конуса, всегда будет иметь постоянную скорость, независимо от ее траектории. Если предположить, что траектория ограничена прямой линией, остается вопрос о положении частицы в зависимости от времени. Проблема в том, что равномерность прямолинейного распространения не имеет смысла на нулевом конусе лоренцевской геометрии.

Вариационное уравнение Леви-Чивиты тривиально на нулевом конусе

Здесь мы представляем подход Леви-Чивиты, представленный в его прекрасном учебнике. Леви-Чивита несколько модифицирует (А2), утверждая, что «распространение света прямолинейно, равномерно и со скоростью $с$»_.

Термин «равномерный» не фигурирует в формулировке Эйнштейна (A2), хотя он говорит о скрытом предположении, что световые лучи имеют канонический параметр, описывающий равномерное движение светового луча. Приведенные выше замечания напрямую связаны с характеристикой Леви-Чивита геометрической оптики в следующих двух уравнениях (см. [III.XI.16]):

  • [Eq2] $$\delta \int ds=0 $$ и

  • [Уравнение 3] $$ds^2=0.$$

Первое уравнение [Eq2] говорит, что вариационная производная функционала $\gamma \mapsto \int_\gamma ds$ обращается в нуль на световых траекториях, а второе уравнение [Eq3] говорит, что траектория ограничена нулевым конусом.

В римановой постановке, где $ds$ положительно определена, уравнение [Eq2] практически эквивалентно геодезическому уравнению $\nabla_{\gamma'} \gamma'=0$.

Однако в лоренцевой постановке мы находим [Eq2] сводится к $0=0$ на нулевом конусе $N$. Таким образом, обычный римановский аргумент $ds>0$ не устанавливает соответствующее "геодезическое" уравнение на $N$. Это признается Леви-Чивитой [III.XI.14], но Леви-Чивита утверждает, что геодезические нулевой длины являются пределами римановых геодезических. ($ds>0$) и что «имеется процесс предельного перехода (в условиях полной аналитической регулярности) от обычных геодезических». Леви-Чивита утверждает, что вариационное уравнение [Eq2] каким-то образом «подразумевает» уравнение геодезического типа $\nabla_{\gamma'} \gamma'=0$ для световых лучей.

Наша точка зрения состоит в том, что $\nabla_{\gamma'} \gamma'=0$ является независимой гипотезой и ни в коем случае не является формальным следствием [уравнения 2]. Это связано с нашим утверждением, что, вопреки утверждениям Леви-Чивиты, уравнение в вариациях [Eq2] на $N=\{ds=0\}$ тривиально. В терминах римановой геометрии прямые линии на $N$ не имеют канонических параметризаций, даже аффинных. Это показывает четкое различие между римановыми прямыми, которые do имеют канонический параметр длины дуги $ds$, и нулевыми линиями $\ell \subset N$, которые не допускают канонический параметр длины дуги $ds$ за исключением тривиального $ds=0$ .