Supuestos de SR
Comenzamos con la introducción de Einstein a su teoría de la Relatividad Especial (SR):
"Difícilmente existe una ley más simple en física que aquella según la cual la luz se propaga en el espacio vacío. Todo niño en la escuela sabe, o cree saber, que esta propagación tiene lugar en línea recta con velocidad $c=300.000$ km/sec. ¿Quién podría imaginar que esta simple ley ha hundido al físico concienzudamente reflexivo en las mayores dificultades intelectuales?
La elaboración de estas dificultades intelectuales que surgen de esta aparentemente "ley simple" es el tema de nuestra discusión hoy.
¿Cuáles son estas dificultades? Es decir, reconciliar los siguientes supuestos axiomáticos de la SR:
(A1) que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia no acelerados, es decir, si $K'$ es un sistema de coordenadas que se mueve uniformemente (y sin rotación) con respecto a un sistema de coordenadas $K$, entonces los fenómenos naturales se ejecutan su curso con respecto a $K'$ según exactamente las mismas leyes que con respecto a $K$.
(A2) que la luz en el vacío se propaga a lo largo de líneas rectas con velocidad constante $c\approx 300.000 ~km/sec$.
Dificultades Aparentes en (A12)
Las dificultades surgen de la conjunción (A1) y (A2), que denotamos por (A12). $$(A12):=(A1) \wedge (A2).$$
Si la Suposición (A2) es de hecho una Ley de la naturaleza, entonces de acuerdo con (A1) esta ley de propagación debería ser invariable en cada marco de referencia inercial. Pero (A12) parece contradictorio con los principios de la mecánica clásica, p. Ley de Fizeau de la suma de velocidades.
Einstein alega que estas dificultades son sólo incompatibilidades aparentes, todas las cuales se reconcilian al postular fórmulas de Lorentz-Fitzgerald para contracciones de longitud y dilataciones de tiempo.
La afirmación de que las fórmulas de Lorentz reconcilian estas dificultades contiene dos afirmaciones:
(i) que los marcos inerciales $K, K'$ están relacionados por transformaciones de Lorentz.
(ii) que la ley de propagación de la luz (A2) es _invariante de Lorentz.I.e. si $(A2)$ se cumple en $K$, entonces $(A2)$ se cumple en cada traducción de Lorentz $K'=\lambda.K$.
Examinamos críticamente estas afirmaciones a continuación. En lo que sigue, abordaremos los modelos de luz tanto de onda como de partícula. En última instancia, argumentamos que (A12) es incompatible con ambos modelos, es decir, incompatible con el principio de complementariedad de Bohr.
Transformaciones de Lorentz
El álgebra lineal del espacio de Minkowski y las transformaciones de Lorentz juegan un papel definitivo en SR.
Las transformaciones de Lorentz en el contexto de SR se pueden definir como el grupo de transformaciones lineales $\lambda: {\bf{R}}^{4} \to {\bf{R}}^4$ que satisfacen $\lambda^* (h)=h$ donde $h=ds^2$ es la forma cuadrática de Minkowski-Lorentz $$h:=ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2.$ ps Aquí $c$ es la velocidad luminal constante en el vacío postulada por (A2).
La invariancia de Lorentz de $h$ dice que $$\xi^2+\eta^2+\zeta^2-c^2 \tau^2$$ es numéricamente igual a $$x^2+y^2+z^ 2-c^2 t^2$$ para cada transformada de Lorentz $\lambda$ que satisface $$(\xi, \eta, \zeta, \tau)=\lambda.(x,y,z,t).$$ Por tanto, se supone que $h$ es un invariante escalar para todos los observadores inerciales.
Se planteó la hipótesis del grupo de transformaciones de Lorentz como un intento de explicar el resultado nulo observado del experimento del interferómetro de Michelson-Morley. El experimento estaba destinado a medir las variaciones de la velocidad de la luz en relación con el éter. No se descubrieron tales variaciones, y se postuló que las coordenadas habituales de espacio y tiempo $(x,y,z,t)$ y $(\xi, \eta, \zeta, \tau)$ de dos observadores inerciales $K $ y $K'$, respectivamente, no estaban relacionados por transformaciones de Galileo, sino por las fórmulas de Lorentz-Fitzgerald. Increíblemente y contrariamente a todas las expectativas, el brazo material del interferómetro se contrajo en la dirección del movimiento y simultáneamente el parámetro de tiempo se contrajo en la misma proporción, a saber, el llamado factor beta $\beta = 1/\sqrt{1-v ^2/c^2}$.
Unicidad de las formas cuadráticas invariantes de Lorentz
Es un resultado interesante de Elton y Arminjon [insertar referencia] que la forma de Minkowski $h$ es la única forma cuadrática invariante de Lorentz en ${\bf{R}}^4$ módulo de homotecia. Esto tiene una consecuencia útil para la ecuación de onda homogénea, como veremos más adelante.
Espacio Minkowski y Cono Nulo
Ahora decimos algo sobre el modelo fotónico de luz como se trata en el libro [III.XI.6, pp.301]. If light satisfies (A2) de Levi-Civita, luego en un marco de referencia $K$, la luz es algo $$\gamma(t)=(x(t),y(t), z(t))$$ que viaja a través del espacio con el tiempo, y cuya velocidad $\gamma'$ si pudiera medirse materialmente como una función de $t$ satisfaría
- [Eq1] $$||\gamma'||^2=(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2=c^2.$$
Por lo tanto, se argumenta que las trayectorias de la luz están restringidas al cono nulo $$N:=\{h=0\} \subset {\bf{R}}^4$$ de la métrica $h$ de Minkowski. Obviamente, el cono nulo $N$ es el subespacio invariante de Lorentz, y está definido por la ecuación $$x^2+y^2+z^2=c^2 t^2$$ en cualquier marco de referencia $K$ con coordenadas $( x,y,z,t)$.
¿Qué dice [Eq1] sobre la Propagación de la Luz?
Nuevamente, si la luz es algo $\gamma$ que viaja, entonces [Eq1] implica que la velocidad de $\gamma$ es idénticamente igual a $c$ medida en $K$.
Pero la velocidad de $\gamma$ es independiente de la dirección de movimiento de $\gamma$ restringida a $N$.
La suposición de Einstein (A2) intenta prescribir la velocidad asumiendo que la propagación es a lo largo de líneas rectas con velocidad constante. Pero, de nuevo, la velocidad todavía está indeterminada, ya que la dirección de la partícula no está determinada por su pertenencia a una línea recta.
Proponemos que la dirección y la magnitud no están determinadas únicamente por (A2). Además, las transformaciones de Lorentz no satisfacen la afirmación (ii), es decir, (A2) no es invariante de Lorentz.
El problema es que la imagen del colegial de la propagación de la luz en el vacío es una perspectiva riemanniana. Pero esta perspectiva riemanniana no es invariante de Lorentz. De hecho, en la geometría de Riemann, si una partícula viaja en línea recta y con velocidad constante, entonces la propagación de la partícula, es decir, su posición en función del tiempo, está determinada de forma única. Sin embargo, en la geometría lorentziana, una partícula que viaja en línea recta a lo largo del cono nulo siempre tendrá una velocidad constante, independientemente de su trayectoria. Suponiendo que la trayectoria se limita a una línea recta, aún queda la cuestión de la posición de la partícula en función del tiempo. El problema es que la uniformidad de la propagación en línea recta no tiene sentido en el cono nulo de la geometría lorentziana.
La Ecuación Variacional de Levi-Civita es Trivial en el Cono Nulo
Aquí presentamos el enfoque de Levi-Civita como se representa en su excelente libro de texto. Levi-Civita modifica algo (A2) afirmando que "la propagación de la luz es rectilínea, uniforme y con velocidad $c$".
El término "uniforme" no aparece en la formulación de Einstein de (A2), aunque habla de la suposición oculta de que los rayos de luz tienen un parámetro canónico que describe el movimiento uniforme del rayo de luz. Los comentarios anteriores están directamente relacionados con la caracterización de la óptica geométrica de Levi-Civita en las siguientes dos ecuaciones (ver [III.XI.16]):
[Eq2] $$\delta \int ds=0 $$ y
[Eq3] $$ds^2=0.$$
La primera ecuación [Eq2] dice que la derivada variacional del funcional $\gamma \mapsto \int_\gamma ds$ desaparece en las trayectorias de la luz, y la segunda ecuación [Eq3] dice que la trayectoria está restringida al cono nulo.
En el entorno de Riemann donde $ds$ es definida positiva, la ecuación [Eq2] es esencialmente equivalente a la ecuación geodésica $\nabla_{\gamma'} \gamma'=0$.
Sin embargo en el escenario lorentziano encontramos [Eq2]reduces to $0=0$ on the null cone $N$. Thus the usual Riemannian $ds>0$ argument does \emph{not} establish the corresponding "geodesic" equation on $N$. This is acknowledged in Levi-Civita [III.XI.14], but Levi-Civita argues that zero length geodesics are limits of Riemannian geodesics ($ds>0$) y que "hay un proceso de paso al límite (en condiciones de completa regularidad analítica) desde las geodésicas ordinarias". Levi-Civita sostiene que la ecuación variacional [Eq2] de alguna manera "implica" la ecuación de tipo geodésico $\nabla_{\gamma'} \gamma'=0$ para los rayos de luz.
Nuestro punto de vista es que $\nabla_{\gamma'} \gamma'=0$ es una hipótesis independiente, y de ninguna manera una consecuencia formal de [Eq2]. Esto está relacionado con nuestra afirmación de que, contrariamente a las afirmaciones de Levi-Civita, la ecuación variacional [Eq2] en $N=\{ds=0\}$ es trivial. En términos geométricos riemannianos, encontramos líneas rectas en $N$ que no tienen parametrizaciones canónicas, ni siquiera afines. Esto revela una clara distinción entre las rectas riemannianas que sí tienen un parámetro canónico de longitud de arco $ds$, y las líneas nulas $\ell \subset N$ que no admiten el parámetro canónico $ds$ de longitud de arco excepto el trivial $ds=0$ .